Una
distribución binomial es una distribución de probabilidad discreta que describe
el número de éxitos al realizar n experimentos independientes entre sí, acerca
de una variable aleatoria.
Existen una
gran diversidad de experimentos o sucesos que pueden ser caracterizados bajo
esta distribución de probabilidad. Imaginemos el lanzamiento de una moneda en
el que definimos el suceso “sacar cara” como el éxito. Si lanzamos 5 veces la
moneda y contamos los éxitos (sacar cara) que obtenemos, nuestra distribución
de probabilidades se ajustaría a una distribución binomial.
PROPIEDADES DE LA DISTRIBUCIÓN
BINOMIAL
Para que
una variable aleatoria se considere que sigue una distribución binomial, tiene
que cumplir las siguientes propiedades:
- En cada ensayo, experimento
o prueba solo son posibles dos resultados (éxito o fracaso).
- La probabilidad del éxito ha
de ser constante. Esta se representa mediante la letra p. La probabilidad
de que salga cara al lanzar una moneda es 0,5 y esta es constante dado que
la moneda no cambia en cada experimento y las probabilidades de sacar cara
es constate.
- La probabilidad de fracaso
ha de ser también constate. Esta se representa mediante la letra q = 1-p.
Es importante fijarse que mediante esa ecuación, sabiendo p o sabiendo q,
podemos obtener la que nos falte.
- El resultado obtenido en
cada experimento es independiente del anterior. Por lo tanto lo que ocurra
en cada experimento no afecta a los siguientes.
- Los sucesos son mutuamente
excluyentes, es decir, no pueden ocurrir los 2 al mismo tiempo. No se
puede ser hombre y mujer al mismo tiempo o que al lanzar una moneda salga
cara y cruz al mismo tiempo.
- Los sucesos son
colectivamente exhaustivos, es decir, al menos uno de los 2 ha de ocurrir.
Si no se es hombre, se es mujer y si se lanza una moneda, si no sale cara
ha de salir cruz.
- La variable aleatoria que
sigue una distribución binomial se suele representar como X~(n,p). n
representa el número de ensayos o experimentos y p la probabilidad de
éxito.
Formula de la
distribución binomial
La fórmula
para calcular la distribución normal es:
Donde:
n
= número de ensayos/experimentos
x
= número de éxitos
p
= probabilidad de éxito
q
= probabilidad de fracaso (1-p)
Es importante
resaltar que la expresión entre corchetes no es una expresión matricial, sino
que es un resultado de una combinatoria sin repetición. Este se obtiene con la
siguiente formula:
Imaginemos que un 80% de personas en el mundo han
visto el partido de la final del último mundial de futbol. Tras el evento, 4
amigos se reúnen a conversar, ¿Cuál es la probabilidad de que 3 de ellos hayan
visto?
Definamos las variables del experimento:
n = 4 (es el total de la muestra que
tenemos)
x = número de éxitos, que en este
caso es igual a 3, dado que buscamos la probabilidad de que 3 de los 4 amigos
lo hayan visto.
p = probabilidad de éxito (0,8)
q = probabilidad de fracaso (0,2).
Este resultado se obtiene al restar 1-p.
Tras definir todas nuestras variables, simplemente
sustituimos en la formula.
Fuera del corchete tenemos dos números. El primero sería 0,8^3=0,512 y el segundo 0,2 (dado que 4-3 = 1 y cualquier número elevado a 1 es el mismo).
Por tanto nuestro resultado final sería: 4*0,512*0,2 =
0,4096. Si multiplicamos por 100 tenemos que hay una probabilidad del 40,96% de
que 3 de los 4 amigos hayan visto el partido de la final del mundial.
PARA RESOLVER
La última novela de cierto
afamado autor ha tenido un importante éxito, hasta el punto de que el 80
% de los lectores ya la han leído. Un grupo de cuatro amigos son
aficionados a la lectura:
a) Describir la variable que indica el número de individuos del grupo que han leído dicha novela.
b) ¿Cuál es la probabilidad de que en el grupo hayan leído la obra dos personas? ¿Y al menos dos?
a) Describir la variable que indica el número de individuos del grupo que han leído dicha novela.
b) ¿Cuál es la probabilidad de que en el grupo hayan leído la obra dos personas? ¿Y al menos dos?
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